નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અને વિસ્તરણ કર્યા વગર સાબિત કરો કે $\left|\begin{array}{lll}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|=0$.

(N/A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચાયકને નીચે મુજબ બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & a & x \\ y & b & y \\ z & c & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & a & a \\ y & b & b \\ z & c & c\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,સ્તંભ $1$ અને સ્તંભ $3$ સમાન છે $(C_1 = C_3)$. તેથી,તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,સ્તંભ $2$ અને સ્તંભ $3$ સમાન છે $(C_2 = C_3)$. તેથી,તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
આમ,$\Delta = 0 + 0 = 0$.